Найдем общее решение однородного уравнения
y''+y'=0
Характеристическое уравнение
λ²+λ=0
λ1=0 λ2=-1
y=C1+C2*e^(-x)
Найдем частное решение неоднородного уравнения
Неоднородности e^(-x) соответствует λ=-1 корень первой кратности.
Будем искать решение в виде y=(Ax+B)*e^(-x)
y'=(A-Ax-B)*e^(-x)
y''=(Ax+B-2A)*e^(-x)
Подставим в уравнение
(Ax+B-2A+A-Ax-B)*e^(-x)=e^(-x)
-A=1
A=-1; B любое. Положим B=0
Общее решение имеет вид
y=C1+C2*e^(-x)-x*e^(-x)
y'=-C2*e^(-x)+x*e^(-x)-e^(-x)
Подставим начальные условия
y(0)=C1+C2=0
y'(0)=-C2-1=-1
C2=0; C1=0
Ответ y=-x*e^(-x)