Решить уравнение: 3tgx=2корень5cos(x/2)

3tg x = 2√5*cos(x/2)
3sin x/cos x = 2√5*cos(x/2)
ОДЗ: cos x ≠ 0; x ≠ pi/2 + pi*n
6sin(x/2)*cos(x/2) / cos x = 2√5*cos(x/2)
1) cos(x/2) = 0; x/2 = pi/2 + pi*k;
x1 = pi + 2pi*k
2) Если cos(x/2) ≠ 0, то разделим на него и на 2
3sin(x/2) / cos x = √5
3sin(x/2) = √5*cos x = √5*(1 - 2sin^2 (x/2))
2√5*sin^2 (x/2) + 3sin(x/2) - √5 = 0
Квадратное уравнение относительно sin(x/2)
D = 3^2 - 4*2√5*(-√5) = 9 + 4*2*5 = 49 = 7^2
sin(x/2) = (-3 - 7)/(4√5) = -10/(4√5) = -2√5/4 = -√5/2 < -1 - не подходит
sin(x/2) = (-3 + 7)/(4√5) = 4/(4√5) = 1/√5
x2 = 2arcsin(1/√5) + 4pi*m
x3 = 2(pi - arcsin(1/√5)) + 4pi*m

Замечу, что если sin(x/2) = 1/√5, то cos x = 1 - 2sin^2(x/2) = 1 - 2*1/5 = 3/5
Так что мой ответ совпадает с ответом Tolusb, но получен другим способом.

$3tg x=2 \sqrt{5} \cos \frac{x}{2} \\ 3\cdot \frac{\sin x}{\cos x} =2 \sqrt{5} \cos \frac{x}{2}\\ 3\cdot \frac{| \sqrt{1-\cos^2x} |}{\cos x} =2 \sqrt{5} \cdot | \sqrt{ \frac{1+\cos x}{2} }|$
Пусть $\cos x=t\,(|t| \leq 1)$
$3\cdot \frac{| \sqrt{1-t^2} |}{t} =2 \sqrt{5} \cdot | \sqrt{ \frac{1+t}{2} } |$
Находим ОДЗ
$t \geq -1\\ 1-t^2 \geq 0\\ t\ne 0$
После нахождения ОДЗ имеем уравнение без модулей
$3\cdot \frac{ \sqrt{1-t^2} }{t} =2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{ \frac{1+t}{2} }$
$(3\cdot \frac{ \sqrt{1-t^2} }{t})^2 =(2 \sqrt{5})^2 \cdot ( \sqrt{ \frac{1+t}{2} } )^2\\ \frac{9(1-t)(1+t)}{t^2} =10(1+t)|\cdot t^2\\ 9(1-t)(1+t)-10t^2(1+t)=0\\ (1+t)(9-9t-10t^2)=0\\ t_1=-1\\ 10t^2+9t-9=0\\ D=b^2-4ac=81+9\cdot4\cdot10=441\\ t_1=-1.5\\ t_2= \frac{3}{5}$
Корень t=-1.5 не удовлетворяет условие при |t|≤1, или ОДЗ

Возвращаемся к замене
$\cos x=-1\\ x= \pi +2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=\frac{3}{5}\\ x=\pm\arccos(\frac{3}{5})+2\pi n,n \in Z$