Первое неравенство получается совсем просто. Оно вытекает из того, что медиана меньше полусуммы сторон между которыми он поведена ( доказывается так : достраиваем треугольник до параллелограмма, где эта удвоенная медиана - диагональ и факт вытекает из неравенства треугольника). Пишем эти неравенства для всех медиан. складываем их и получаем искомое утверждение.
Второе неравенство доказывается так . Пусть стороны треугольника а, в,с.
Медианы м1 - проведена к а,м2 - к в и м3 к с.
Тогда, очевидно ( м1+м2)*(2/3) больше в
(м1+м3)*(2/3) больше а
(м2+м3)*(2/3) больше с
складывая , получим
(4/3) *(м1+м2+м3) больше (а+в+с), что и требуется.