Найти наименьшие значение функции с помощью производной y=(2x-23)^2*(4-x)+5 ** промежутке...

Question

Дан 1 ответ

fou_zn · Answer 1 · 2018-03-01T11:04:18+0000

Находим производную:

$y=(2x-23)^{2}(4-x)+5\\ y'= ((2x-23)^{2})'(4-x)+(2x-23)^{2}(4-x)'=\\=2 \cdot (2x-23)(2x-23)'(4-x) -(2x-23)^{2}= \\ =4(2x-23)(4-x)-(2x-23)^{2}$

Упростим.

$4(2x-23)(4-x)-(2x-23)^{2}= (2x-23)(4(4-x)-2x+23)=\\= (2x-23)(39-6x)$

Найдем периоды возрастания и убывания:

0\\ 1) \left \{ {{2x-23>0} \atop {39-6x>0}} \right.\\ \left \{ {{x>11,5} \atop {x<6,5}} \right.\\ 2) \left \{ {{2x-23<0} \atop {39-6x<0}} \right.\\ \left \{ {{x<11,5} \atop {x>6,5}} \right.\\ 6,50\\ 1) \left \{ {{2x-23>0} \atop {39-6x>0}} \right.\\ \left \{ {{x>11,5} \atop {x<6,5}} \right.\\ 2) \left \{ {{2x-23<0} \atop {39-6x<0}} \right.\\ \left \{ {{x<11,5} \atop {x>6,5}} \right.\\ 6,5

На промежутке от 6,5 до 11,5 функция возрастает, на остальном она убывает. Имеем две точки экстремума:

6,5 - точка минимума

11,5 - точка максимума.

У нас пулучается, что функция примет свое наименьшее значение в точке минимума, то есть в точке 6,5. Подставляем в функцию:

$y=(2x-23)^{2}(4-x)+5 = (2\cdot 6,5-23)^{2}(4-6,5)+5 = -245$

График для наглядности.

З.Ы. Здесь небольшой подвох есть. В точке х =14, у тоже будет равен -245. Поскольку, в рассматриваемом промежутке [0; 14), точка 14 не включена, то тогда мы не берем ее в расмотрение.