Докажите, что длина заключённого внутри трапеции отрезка прямой, проходящей через точку...

Question

Докажите, что длина заключённого внутри трапеции отрезка прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, равна 2ab:a+b (дробь), где a и b - длины оснований трапеции.

Answer 1

ABCD трапеция,основание ВС=а,основание AD=b
O-точка пересечения диагоналей,O∈PK,PK||BC||AD
Из подобия треугольников AOD и BOC следует, что АO/OС = AD/BC = b/a.
 Из подобия треугольников AOР и ACB следует, что АO/AС = PO/BC = b/(a + b). Отсюда PO = BC · b / (a + b) = ab/(a + b).
Из подобия треугольников DOK и DBC, следует, что OK = ab/(a + b).
Отсюда PO = OK и PK = 2ab/(a + b).