4tg^2x+11/sin(3п/2-x)+10=0

$4tg^2x+ \frac{11}{\sin( \frac{3\pi}{2}-x) } +10=0 \\ 4tg ^2x- \frac{11}{\cos x} +10=0|\cdot \cos^2x \\ 4\sin^2x-11\cos x+10\cos^2x=0 \\ 4(1-\cos^2x)-11\cos x+10\cos^2x=0 \\ 4-4\cos^2x-11\cos x+10\cos^2x=0 \\ 6\cos^2x-11\cos x+4=0$

Пусть $\cos x=t\,\,\, (|t| \leq 1)$
$6t^2-11t+4=0 \\ D=b^2-4ac=121-96=25 \\ t_1= \frac{11+5}{12} = \frac{16}{12} \\ t_2= \frac{11-5}{12} = \frac{1}{2}$
Корень t=(11+5)/12 не удовлетворяет условие при $|t| \leq 1$

Обратная замена

$\cos x= \frac{1}{2} \\ x=\pm \frac{\pi}{3} +2\pi n,n \in Z$