Найдите абсциссу точки касания прямая y=-x+4 является касательной к графику функции...

Прямая $y=-x+4$ является касательной к графику функции $y=x^3+x^2-x+4$

Угловой коэффициент прямой равен –1, учитывая, что производная равна угловому коэффициенту касательной, получим
$y' = -1$

Найдем производную
$y'=(x^3+x^2-x+4)' = 3 x^{2} +2x-1$
тогда
$3 x^{2} +2x-1 = -1 \\ \\ x(3 x +2) = 0 \\ \\ x_1 = 0 \ ; \ x_2 =- \frac{2}{3}$
Получили две абсциссы.

Определить, какая абсцисса из двух полученных является абсциссой точки пересечения.

Определим ординаты при х = 0
$y (0) = 0 + 4 = 4 \\ \\ y (0)=0^3+0^2-0+4 = 4$

Это искомая абсцисса точки касания.

Определим ординаты при $x =- \frac{2}{3}$
$y (- \frac{2}{3} ) = - (- \frac{2}{3} ) + 4 = 4\frac{2}{3} \\ \\ y (- \frac{2}{3} ) = (- \frac{2}{3} )^3+(- \frac{2}{3} )^2-(- \frac{2}{3} )+4 = 4\frac{22}{27}$

Получены разные ординаты, значит эта точка не является абсциссой точки касания.

Ответ: х = 0