Решите уравнение путем введения двух новых переменных ....

0 голосов
38 просмотров

Решите уравнение путем введения двух новых переменных ....


image

Алгебра (2.2k баллов) | 38 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

ОДЗ: \begin{cases}
& \text{ } 64-5x \geq 0 \\ 
& \text{ } 18+5x \geq 0
\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}
& \text{ } x \leq \frac{64}{5} \\ 
& \text{ } x \geq - \frac{18}{5} 
\end{cases}
\begin{cases}
& \text{ } a= \sqrt[4]{64-5x} \\ 
& \text{ } b= \sqrt[4]{18+5x}\\ & \text{ } b+a-4=0
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
& \text{ } 64-5x=a^4 \\ 
& \text{ } 18+5x=b^4\\ & \text { } a=-b+4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
& \text{ } 64-5x=(-b+4)^4 \\ 
& \text{ } 18+5x=b^4
\end{cases}
Из уравнения 2 выразим переменную х
x= \frac{b^4-18}{5}
Подставляем в 1 уравнение вместо х
-5\cdot \frac{b^4-18}{5} +64=(b-4)^4\\ -b^4+82=(b-4)^2
Пусть b-2 = t, тогда получаем
-(t+2)^4+82-(t-2)^4=0\\ -t^4-8t^3-24t^2-32t-16+82-t^4+8t^3-24t^2+32t-16=0\\2t^4+48t^2-50=0|:2\\ t^4+24t^2-25=0
Пусть t² = z, причем z ≥ 0
z^2+24z-25=0
По т. Виета: 
z_1=-25\,\, \notin [0;+\infty)
z_2=1
Возвращаемся к замене от z
t^2=1\\ t=\pm1
Возвращаемся к замене от t
b-2=1;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b-2=-1\\b=3;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b=1
Возвращаемся к замене
x_1= \frac{1^4-18}{5}=- \frac{17}{5} \\ x_2= \frac{3^4-18}{5} = \frac{63}{5}

Ответ: - \frac{17}{5};\,\,\frac{63}{5}