Y = - x² +2x +3 ; y = 0.
y = 4 - (x - 1)² *** = (2 - x +1 )(2+x -1) = -(x+1)(x-3) ***
y =4 при x=1
График этой функции парабола вершина которой в точке x = 1 ; y = 4 : G(1 ;4) .
Ветви направлены вниз . Определим точки пересечения с осью y и x
с осью y : x = 0 ⇒y = - 0² +2*0 +3 =3 =3 т.е. точка A(0 ;3)
с осью x : y = 0 ⇒ 0 = - x² +2x +3
x² -2x -3 = 0 ;
x₁= -1;
x₂ = 3.
S = интеграл ((a) => (b)) (ydx) = интеграл ((a) => (b)) ( - x² +2x +3 )dx) ;
границы интегрирования a = x₁= -1 ; b=x₂ = 3.
S = интеграл ((-1) => (3)) ( - x² +2x +3 )dx) =( -x³/3 +x² +3x) | (-1) =>(3) =
=( -3³/3 +3² +3*3 ) - ( - ( -1)³/3 +( -1)² +3 (-1)) = 9 -(-5/3) =32/3 .
------------------------------------------------------------------------------------------------
* * * * *F(b) -F(a) формула Ньютон - Лейбница * * * * *
ответ : 32 / 3.