Введём прямоугольную систему координат ХОУ с началом в вершине прямого угла треугольника.
Тогда уравнение гипотенузы будет равно у = (-18/24)х + 18 = (-3/4)х + 18 = -0,75х + 18.
Вписанный прямоугольник будет своей вершиной находится на гипотенузе. Его площадь будет выражаться уравнением S = x*y =
=x*(-0,75х + 18) = -0,75х² + 18x.
Максимум этой функции найдём с помощью производной, приравненной 0:
S' = -1,5x + 18 = 0
x = 18 / 1,5 = 12.
Высота прямоугольника у = -0,75*12 + 18 = -9 + 18 = 9.
Тогда диагональ равна √(12²+9²) = √(144+81) = √225 = 15.