Ребят, помоги, пожалуйста.... 1+cosx=ctg x/2

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Воспользуемся формулой двойного угла

$\frac{1+\cos\alpha}{2}=\cos^2\frac{\alpha}{2}$

Левая часть преобразуется c помощью верхнего тождества, а котангенс распишем по определению, и получаем следующее уравнение

$2\cos^2\frac{x}{2}=\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$

Здесь следует отметить ОДЗ, то есть знаменатель дроби правой части не равен нулю.

$\sin\frac{x}{2}\neq 0$

$\frac{x}{2}\neq\pi l, \quad l\in Z.$

$x\neq2\pi l,\quad l\in Z.$

Перейдем к самому уравнению. Перенесем в левую часть из правой части слагаемое

$2\cos^2\frac{x}{2}-\frac{\cos\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}=0$

$\cos\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}-\frac{1}{\sin\frac{x}{2}}\right)=0$

Уравнение распадается на два уравнения.

$1)\quad \cos\frac{x}{2}=0$

$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi*n,\quad n\in Z$

$x=\pi+2*\pi*n,\quad n\in Z$

Эта серия решений удовлетворяет ОДЗ.

Второе уравнение имеет вид

$2)\quad 2\cos\frac{x}{2}-\frac{1}{\sin\frac{x}{2}}=0$

Учитывая ОДЗ, умножим обе части на знаменатель:

$2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}-1=0.$

$2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}=1$

По формуле двойного угла

$\sin x=1$

$x=\frac{\pi}{2}+2\pi*k,\quad k\in Z$

Эта серия решений тоже удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: две серии решений.

$1)\quad x=\pi+2*\pi*n,\quad n\in Z$

$2)\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi*k,\quad k\in Z$

bearcab_zn (114k баллов) 02 Март, 18