Задача во вложении...

Перед началом решения , вспомним что , центр вписанной окружности это что? - это точка пересечения биссектрис (известный факт)!

СМОТРИМ РИСУНОК
Обозначим угол $ABC=x$ , и угол $BCA=y$ , то есть нам нужно найти угол $180-x-y$ , либо просто сумму $x+y$

Пусть радиус вписанной окружности $r$ , тогда давайте выразим $BC;AB$ через радиус вписанной окружности , то есть через это самое $r$ , для чего? (смотрите далее)

Пусть точка касания вписанной окружности с сторонам есть точки    $T;G$ со сторонами соответственно $AB;BC$ , тогда
Тогда так как $BO;OC;AO$ отрезки биссектриса (ранее было сказано что , точка пересечения биссектриса , есть центр вписанной окружности , вписанной в треугольник $ABC$ )
1) $r*ctg(\frac{x}{2})=BG \\ r*ctg(\frac{y}{2})=CG$
то есть $BC = r*ctg( \frac{x}{2})+r*ctg( \frac{y}{2} )$
И так же
2) $AB=$ $r*ctg(\frac{x}{2})+r*tg(\frac{x+y}{2})$

Тогда радиус описанной окружности    $R_{BOC} = \frac{BC}{sinBOC*2} = \frac{ r*ctg( \frac{x}{2})+r*ctg( \frac{y}{2} ) }{ sin(\frac{x+y}{2})*2}$
Угол $CAL=90-BCA = 90-y$
Тогда из треугольника $AHM\\ AM=(r*ctg\frac{x}{2}+r*tg(\frac{x+y}{2}))*-cos(x+y)$

Значит $AH=-\frac{(r*ctg\frac{x}{2}+r*tg(\frac{x+y}{2}))*cos(x+y)}{cos(90-y)}$
$R_{BOC}=AH\\$

Откуда после преобразований получаем
$cos( \frac{\pi}{2}-y)=\frac{-siny*cos(x+y)}{cos\frac{x+y}{2}} \\ x+y=t\\ siny=-\frac{siny*cost}{cos\frac{t}{2}}\\ cost=-cos\frac{t}{2}\\ t=\frac{2\pi}{3} = 120а\\ BAC=180-120=60$