Помогите решить пожалуйста

0 голосов
43 просмотров

Помогите решить пожалуйста


image

Алгебра (42 баллов) | 43 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одинаковых знаков:

1)
\left \{ {{ \sqrt{ {{- x^{2} +7x-6} } } \geq 0 \atop {| x^{2} -6x+5|-| x^{2} -2x-3|\ \textgreater \ 0}}} \right.
или
2)
\left \{ {{ \sqrt{ {{- x^{2} +7x-6} } } \leq 0 \atop {| x^{2} -6x+5|-| x^{2} -2x-3|\ \textless \ 0}}} \right.

Так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, то  числитель неотрицателен, а  знаменатель строго положителен.
Квадратный корень существует если подкоренное выражение неотрицательно. Первое неравенство системы можно заменить на неравенство, определяющее область существования подкоренного выражения:
\left \{ {{- x^{2} +7x-6 \geq 0} \atop {| x^{2} -6x+5|-| x^{2} -2x-3|\ \textgreater \ 0}} \right.
Решаем первое неравенство системы 1).
Находим корни квадратного трехчлена
х²-7х+6=0
D=49-24=25
x=(7-5)/2=1   или    x=(7+5)/2=6
-х²+7х-6≥0   при х∈[1;6]

Решаем второе неравенство системы 1).

| x^{2} -6x+5|-| x^{2} -2x-3|\ \textgreater \ 0
или
| x^{2} -6x+5|\ \textgreater \ | x^{2} -2x-3|
Возводим в квадрат
(| x^{2} -6x+5|)^{2}\ \textgreater \ (|x^{2} -2x-3|)^{2} \\ \\( x^{2} -6x+5)^{2}-(x^{2} -2x-3)^{2} \ \textgreater \ 0 \\ \\ (( x^{2} -6x+5)-(x^{2} -2x-3))\cdot(( x^{2} -6x+5)+(x^{2} -2x-3))\ \textgreater \ 0 \\ \\ ( x^{2} -6x+5-x^{2} +2x+3)\cdot( x^{2} -6x+5+x^{2} -2x-3)\ \textgreater \ 0 \\ \\ ( -4x+8)\cdot(2 x^{2} -8x+2)\ \textgreater \ 0 \\ \\
Решаем последнее неравенство методом интервалов
-4(х-2)·2·(х²-4х+1)>0
(х-2)·(х²-4х+1)<0<br>         -                  +            -                    +
-----------(2-√3)-----------(2)----------(2+√3)-------
Решениями второго неравенства будет объединение двух интервалов
(-∞; 2-√3) U(2; 2+√3)
Учитывая решения первого первого неравенства системы 1)
 получаем ответ системы 1):
х∈(2; 2+√3)
Целочисленное решение, принадлежащие этому промежутку
х=3

Решаем  систему 2):

Так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, система 2) равносильна системе:
\left \{ {{ \sqrt{ {{- x^{2} +7x-6} } }= 0 \atop {| x^{2} -6x+5|-| x^{2} -2x-3|\ \textless \ 0}}} \right.
Можно найти только корни первого уравнения и проверить удовлетворяют ли они второму неравенству.
при х=1 
|1-6+5|-|1-2-3|=-4<0<br>|6²-6·6+5|-|6²-2·6-3|=5-21=-16<0<br>Корни первого уравнения х=1 и х=6 удовлетворяют  второму неравенству, значит являются решениями второй системы, причем целочисленными
Объединяя ответы систем 1) и 2), получаем три целочисленных решения данного неравенства:
х=1; х=3;х=6
Тогда сумма квадратов целочисленных решений
1²+3²+6²=1+9+36=46
 Ответ. 46

(414k баллов)