Сделаем замену t^2 + t = x
x + 4t + 6 = 15*(x + 2t + 6)/x
Умножаем на х
x^2 + x(4t + 6) = 15(x + 2t + 6)
x^2 + x(4t + 6 - 15) - 30t - 90 = 0
x^2 + x(4t - 9) - (30t + 90) = 0
Решаем квадратное уравнение относительно х, как будто t известно
D = (4t - 9)^2 + 4(30t + 90) = 16t^2 - 72t + 81 + 120t + 360 = 16t^2 + 48t + 441
D > 0 при любом t
x1 = (9 - 4t - √(16t^2 + 48t + 441)) / 2 = t^2 + t
9 - 4t - √(16t^2 + 48t + 441) = 2t^2 + 2t
√(16t^2 + 48t + 441) = 9 - 4t - 2t - 2t^2 = -2t^2 - 6t + 9
Но нужно помнить, что корень арифметический, то есть неотрицательный.
-2t^2 - 6t + 9 >= 0
Решим сейчас уравнение, а потом подставим корни и проверим.
16t^2 + 48t + 441 = (-2t^2 - 6t + 9)^2
16t^2 + 48t + 441 = 4t^4 + 24t^3 - 36t^2 - 108t + 36t^2 + 81
4t^4 + 24t^3 - 16t^2 - 156t - 360 = 0
Делим все на 4
t^4 + 6t^3 - 4t^2 - 39t - 90 = 0
Преобразуем так
t^4 + 6t^3 - 4t^2 - 24t - 15t - 90 = 0
(t + 6)(t^3 - 4t - 15) = 0
(t + 6)(t^3 - 3t^2 + 3t^2 - 9t + 5t - 15) = 0
(t + 6)(t - 3)(t^2 + 3t + 5) = 0
t1 = -6; t2 = 3; третья скобка корней не имеет.
Проверяем неравенство
-2t^2 - 6t + 9 >= 0
t1 = -6: -2(-6)^2 - 6(-6) + 9 = -2*36 + 36 + 9 = -27 < 0 - не подходит
t2 = 3: -2*3^2 - 6*3 + 9 = -18 - 18 + 9 = -27 < 0 - не подходит.
Таким образом, при x1 = (9 - 4t - √(16t^2 + 48t + 441)) / 2 корней нет.
x2 = (9 - 4t + √(16t^2 + 48t + 441)) / 2 = t^2 + t
√(16t^2 + 48t + 441) = 2t^2 + 2t + 4t - 9 = 2t^2 + 6t - 9 >= 0
Решение получается точно такое же
16t^2 + 48t + 441 = (2t^2 + 6t - 9)^2
16t^2 + 48t + 441 = 4t^4 + 24t^3 - 36t^2 - 108t + 36t^2 + 81
t1 = -6; t2 = 3
Но теперь при проверке мы получаем
t1 = -6: 2t^2 + 6t - 9 = 2(-6)^2 + 6(-6) + 9 = 45 > 0 - подходит
t2 = 3: 2t^2 + 6t - 9 = 2*9 + 6*3 - 9 = 18 + 18 - 9 = 27 > 0 - подходит
Ответ: t1 = -6, t2 = 3