Докажите, что центры тяжести четырёх треугольников, вершины которых совпадают с тремя...

Question

Докажите, что центры тяжести четырёх
треугольников, вершины которых совпадают с тремя вершинами данного четырехугольника, являются вершинами четырехугольника, гомотетичного данному.

Comments

я не очень хорошо владею приемами решения задач с помощью гомотетии, но в данном случае я бы поискал преобразование относительно центра тяжести всего четырехугольника O. Насколько я помню, если O - любая точка, то для треугольника OG = (OA + OB + OC)/2; (векторное равенство). Поэтому центр тяжести всего четырехугольника должен быть центром гомотетии - тут равна 0 сумма всех радиус-векторов вершин, и центроидов треугольников тоже. скорее всего получится что-то типа -1/3;

---

OG = (OA + OB + OC)/3; разумеется, просто в сон уже клонит

---

ну типа, OD = -(OA + OB +OC) = -3*OG; и так для всех треугольников. собственно, это все решение.

---

Это можно и зафиксировать, хотя конечно, задачка ученическая... хотя а какой мой уровень? То же самое :)))

Answer 1

Прямо, как мысль катилась :)
Для произвольной точки O и произвольного треугольника ABC с центром тяжести G
OG = (OA + OB  +OC)/3; (жирным обозначены вектора);
Пусть теперь O - центр тяжести всего четырехугольника. Тогда
OD = -(OA + OB + OC) = -3*OG;
Легко видеть, что так же точно OA = -3*OG1; OB = -3*OG2; OC = -3*OG3;
где G1 - центр тяжести CBD, G2 - ACD; G3 - ABD;
То есть многоугольник GG1G2G3 получается из ABCD при пребразовании гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k = -1/3;