Радиус вписанной в прямоугольный треугольник (с катетами a, b и гипотенузой c) окружности равен r=(a+b-c)/2.
Следовательно, нам надо найти катеты треугольника, поскольку гипотенуза нам известна.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит ее на отрезки так, что квадрат высоты равен произведению этих отрезков.
В нашем случае высота ВН=√(АН*НС)=√(16*9)=12см.
Тогда из прямоугольных треугольников АВН и СВН по Пифагору находим катеты АВ=√(ВН²+АН²)=√(144+256)=20см.
ВС=√(ВН²+СН²)=√(144+81)=15см.
По формуле радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности имеем:
r=(a+b-c)/2, где а,b - катет с - гипотенуза.
В нашем случае r=(20+15-25)/2=5см.
Тогда площадь вписанной окружности равна S=πR²=25π см²
Ответ: S=25π см².
