Дан куб ABCDA1B1C1D1. 1) Постройте отрезок, являющийся пересечением грани ABB1A1 и...

Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1.
1) Постройте отрезок, являющийся пересечением грани ABB1A1 и плоскости альфа, в которой лежат прямая CC1 и точка K - середина AB.
2) Постройте сечение куба плоскостью альфа.
3) Вычислите периметр построенного сечения, если ребро куба равно 20 см.

Answer 1

1) СС₁║ВВ₁ как противоположные стороны квадрата, ⇒ СС₁║(АВВ₁),
плоскость α проходит через прямую СС₁ параллельную плоскости  боковой грани и пересекает эту плоскость, значит линия пересечения параллельна СС₁.
Проведем КЕ║ВВ₁, а так как СС₁║ВВ₁, то и КЕ║ СС₁.
α∩(АВВ₁) = КЕ.

2) Точки С и К лежат в плоскости одной грани, соединяем их, точки С₁ и Е соединяем, так как они лежат в плоскости одной грани.
КЕС₁С - искомое сечение.

3)  КЕ║ВВ₁, КВ║ЕВ₁, ∠ВВ₁К = 90°, ⇒
КЕВ₁В - прямоугольник,  значит ЕВ₁ = КВ = АВ/2 = 20/2 = 10 см.
КЕ = ВВ₁ = СС₁ = 20.
ΔКВС = ΔЕВ₁С₁ по двум катетам, значит КС = ЕС₁.

ΔКСВ: по теореме Пифагора
             КС = √(КВ² + ВС²) = √(100 + 400) = √500 = 10√5 см
Pkecc₁ = (CC₁ + KC)·2 = (20 + 10√5)·2 = 20(√5 + 2) см