Cos2π / 7 + cos4π / 7 + cos6π / 7 = -1 / 2 даказать

0 голосов
158 просмотров

Cos2π / 7 + cos4π / 7 + cos6π / 7 = -1 / 2

даказать

Алгебра (15 баллов) | 158 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов
Правильный ответ

Для решения воспользуемся тождеством cos \alpha +cos2 \alpha +cos3 \alpha +...+cosn \alpha = \frac{sin \frac{n \alpha }{2}cos \frac{(n+1) \alpha }{2} }{sin \frac{ \alpha }{2} }.
Подставив вместо n=3 и α=2π/7, получим cos \frac{2 \pi }{7} +cos \frac{4 \pi }{7}+cos \frac{6 \pi }{7}= \frac{sin \frac{3 \pi }{7}cos\frac{4 \pi }{7}}{sin \frac{ \pi }{7} } = \frac{sin \pi -sin \frac{ \pi }{7} }{2sin \frac{ \pi }{7} } =- \frac{1}{2} } }

(11.8k баллов)
0

доказать тождество можно с помощью математической индукции. ничего особого знать не надо, кроме формул превращений суммы тригонометрических функций в произведение и наоборот:)

оставил комментарий (11.8k баллов)
0 голосов

Если знаете про комплексные числа, то вот короткое доказательство.
Обозначим x=cos(π/7)+i sin(π/7). Тогда x^7=cos(π)+i sin(π)=-1.
Т.огда x^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0. Т.к. x≠1, то x^6+x^4+x^2=x+x^3+x^5-1
Возьмем действительную часть от обеих сторон этого равенства:
cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7)=cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)-1.
Но cos(π/7)=-cos(6π/7), cos(3π/7)=-cos(4π/7), cos(5π/7)=-cos(2π/7). Заменяем косинусы в правой части и переносим их влево: 2(cos(6π/7)+cos(4π/7)+cos(2π/7))=-1, что и требовалось.

(56.6k баллов)
Похожие задачи