Докажите, что для любого натурально n верно равенство: 1) (n+1)!-n!=n!n 2)...

0 голосов
47 просмотров

Докажите, что для любого натурально n верно равенство:
1) (n+1)!-n!=n!n
2) (n+1)!-n!+(n-1)!=(n^2+1)(n-1)!
3) (n-1)!/n! - n!/(n+1)!=1/n(n+1)
ничего не понимаю, помогите, пожалуйста

Алгебра (85 баллов) | 47 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Решите задачу:

n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n

(n+1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot (n+1)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot ...\cdot n)\cdot (n+1)=n!\cdot (n+1)\\\\1)\; (n+1)!-n!=n!(n+1)-n!=n!((n+1)-1)=n!n\\\\2)(n+1)!-n!+(n-1)!=(n-1)!\, n(n+1)-(n-1)!\, n+(n-1)!=\\\\=(n-1)!\cdot (n(n+1)-n+1)=(n-1)!(n^2+n-n+1)=\\\\=(n-1)!(n^2+1)

3)\frac{(n-1)!}{n!}-\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1)!\, n}-\frac{n!}{n!\, (n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\\\\=\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}
(834k баллов)
Похожие задачи