Чему равен угол, который образует биссектриса внешнего угла треугольника с биссектрисой смежного ему внутреннего угла?
Утверждение.
Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла.
bissektrisa vneshnego ugla treugolnika Дано: ∆ ABC,
∠BAP — внешний угол при вершине A,
AN — биссектриса ∠BAP,
AM — биссектриса ∠BAC.
Доказать: ∠MAN=90º.
Доказательство: (аналогично доказательству об угле между биссектрисами смежных углов).
Так как внешний угол треугольника — это угол, смежный с внутренним углом при данной вершине, то по свойству смежных углов
\[\angle BAP + \angle BAC = {180^o}.\]
Так как AN — биссектриса внешнего угла BAP, то
\[\angle BAN = \frac{1}{2}\angle BAP.\]
Так как AM — биссектриса угла BAC, то
\[\angle BAM = \frac{1}{2}\angle BAC.\]
Таким образом,
\[\angle MAN = \angle BAN + \angle BAM = \]
\[ = \frac{1}{2}\angle BAP + \frac{1}{2}\angle BAC = \]
\[ = \frac{1}{2}(\angle BAP + \angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot {180^o} = {90^o}.\]
svoystvo bissektrisyi vneshnego ugla treugolnika Итак, мы доказали, что биссектриса внешнего угла треугольника образует с биссектрисой внутреннего угла при данной вершине прямой угол:
\[AM \bot AN.\]
Вывод: если требуется найти угол между биссектрисами внешнего и внутреннего углов треугольника, знать градусные меры самих углов не требуется. Каким бы ни был внешний угол треугольника, его биссектриса перпендикулярна биссектрисе смежного внутреннего угла