Найдите наименьшее значение функции y= (x-3)^2 * (x-6) - 5 на отрезке [4;10]

1) Раскроем скобки для удобства нахождения производной функции.
$y=(x-3)^2(x-6)-5 \\ y=(x^2-6x+9)(x-6)-5=x^3-6x^2-6x^2+36x+9x-54-5= \\ =x^3-12x^2+45x-59$

2) Найдём производную функции.
$y'=(x^3-12x^2+45x-59)'=(x^3)'-(12x^2)'+(45x)'-(59)'= \\ =3x^2-24x+45$

3) Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремумы (те точки, при которых производная обращается в ноль).

$3x^2-24x+45=0|:3 \\ x^2-8x+15=0 \\ (x-3)(x-5)=0 \\ x=3,x=5$
4) Смотрим наш промежуток: $x$ ∈ $[4;10]$ .
Смотрим на наши корни $x=3$ и $x=5$ .
Точка $x=3$ не попадает в промежуток. Значит остается только одна точка-экстремум $x=5$

5) Теперь находим значения функции в данных нам ( $4,10$ )и найденной нами ( $5$ ) точках. То есть подставляем их в исходную функцию.
$y(4)=(4-3)^2(4-6)-5=1*(-2)-5=-2-5=-7 \\ y(5)=(5-3)^2(5-6)-5=4*(-1)-5=-4-5=-9 \\ y(10)=(10-3)^2(10-6)-5=49*4-5=196-5=191$

6) Нас просили найти наименьшее значение функции. Смотрим, какое из найденных значений $y$ у нас наименьшее. Это $-9$

Ответ: $-9$

Найдите наименьшее значение функции y= (x-3)^2 * (x-6) - 5 ** отрезке [4;10]