Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см найдите биссектрису прямоугольника...

Скорее всего там опечатка, и имеется ввиду биссектриса треугольника.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу

Корень (18^2+24^2) = 30

Т.е. гипотенуза нашего исходного треугольника равна 30 см.

Есть такая формула для расчета длины гипотенузы
$L = a \sqrt{ \frac{2c}{a+c}}$

где
a - это длина катета.
с - длина гипотенузы

У нас a = 24. c = 30
Подставляем в формулу и получает, что L = 24 * корень (60/54) = 24 * корень (10/9) = 8*Корень(10)

Можно по другому решиться эту задачу.
Сначала находится острый угол например из определения синуса.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Следовательно $sin( \beta ) = 18/30 = 3/5$

Из определения косинуса, мы знаем, что
$cos ( \beta /2) = \frac{a}{L}$

Тогда
$L = a / cos ( \beta /2)$

Мы знаем, что
$sin ( \beta) = 2sin( \frac{beta}{2} )cos( \frac{ \beta}{2} )$

Нам известно, что
$sin( \beta ) = 3/5$
Если подставим в уравнение выше, то найдем, что
$cos( \frac{ \beta}{2} ) = \sqrt{ \frac{9}{10} }$

подставим сюда
$L = a / cos ( \beta /2)$
И получим тот же ответ
L = 8*Корень(10)