Круг,вписаный в прямоугольный треугольник ABC, касаясь гипотенузы AB в точке F. Найти радиус вписаного круга, если AC=9см,AF:FB=2:3
∠С=90° ;AC =9 см, AF/FB =2:3. AF =2k ;FB =3k ⇒AB =5k .AC =AF +r =2k+r ;BC =FB +r =3k+r . ---------------------- {2k+r =9 (см) ; (2k+r)² +(3k+r)² =(5k)² (Теорема Пифагора) . {2k+r =9 ; (2k+r)² +(2k+r +k)² =(5k)² . {2k+r =9 ; 9² +(9 +r)² =25k² . 81 +81+18r+r² =25r²; 4r² -3r -27 =0 ; D =3² - 4*4(-27) =441 =21² ;√D =21. (корни разного знака k₁k₂ =-27/4 <0 )<br>r = (3+21) /8 =3(см). ответ : 3 см . Проверка : 2k+r =9⇒2k +3 =9⇒k =3. AB=5k =5*3 ; BC =3k+r =3*3+3 =12 =4*3; AC =9 =3*3 . r =(AB+BC-AB)/2 =(12+9-15/2)