Решите пожалуйста cos(0,5 п+x)+sin 2x=0 с пояснениями

$\cos(\frac{\pi}{2}+x)+\sin2x=0$

Используя формулу приведения тригонометрических функций $\cos(\frac{\pi}{2}+x)=-\sin x$ и применяя формулу для кратных углов $\sin2x=2\sin x\cos x,$ получим:

$-\sin x+2\sin x\cos x=0,\\\sin x(2\cos x-1)=0,$

$1) \sin x=0,\\x=\pi n,\ n\in Z;\\\\2)\ 2\cos x-1=0,\\\cos x=\frac{1}{2},\\x=\pm\arccos\frac{1}{2}+2\pi n,\ n\in Z,\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in Z.$

Ответ: $x=\pi n,\\x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in Z.$