Сколько существует таких пар целых положительных чисел a и b, что a ≥ b и 1/а + 1/b = 1/6...

Question 1

Сколько существует таких пар целых положительных чисел a и b, что a ≥ b и 1/а + 1/b = 1/6 ?

Question 2

В таких задачах рассуждают так:1/а + 1/b = 1/6 ⇒(a+b)/ab=1/6⇒6(a+b)=abСлева произведение кратно 6, значит и справа либо a либо b кратно 6, либо одно кратно 2, другое кратно 3Пусть а=3k b=2nk,n - натуральные6(3k+2n)=3k·2nили3k+2n=kn2n=k(n-3)Справа кратно 2, значит либо k- четное, либо (n-3) - четноеk=2m2n=2m(n-3)n=m(n-3)mn-3m-n=0mn-n=3mn(m-1)=3m

Question 3

а далее просто перебор

Question 4

Из уравнения сразу понятно, что a>6 (иначе левая часть всегда больше 1/6). Теперь выразим b через а. Получим b=6+36/(a-6). Чтобы b было натуральным, a-6 должно быть делителем числа 36. Т.е a-6∈{1,2,3,4,6,9,12,18,36} Т.к. из них только 6,9,12,18,36 дают a ≥ b, то существует 5 пар а и b удовлетворяющих условию.

Denik777_zn · Answer 1 · 2018-04-05T14:29:33+0000

Из уравнения сразу понятно, что a>6 (иначе левая часть всегда больше 1/6). Теперь выразим b через а. Получим b=6+36/(a-6). Чтобы b было натуральным, a-6 должно быть делителем числа 36. Т.е a-6∈{1,2,3,4,6,9,12,18,36} Т.к. из них только 6,9,12,18,36 дают a ≥ b, то существует 5 пар а и b удовлетворяющих условию.