X1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. Какое наименьшее значение может принимать...

Заменим данные переменные на $a;b;c;d;e\\$ соответственно

   $\sqrt[5]{abcde}*(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} ) \\ a,b,c,d,e \geq 0 \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{5} \geq \sqrt[5]{a^4b^4c^4d^4e^4} = (abcd)^{ \frac{4}{5}} \\ \frac{(bcde+acde+abde+abce+abcd)}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} = 5 \frac{(abcde) ^{\frac{4}{5}}}{(abcde)^{ \frac{4}{5}}} = 5$

то есть минимальное значение $5$