В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании пересекает боковую сторону,...

Question

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании пересекает боковую сторону, так , что длинна отрезка, прилежащего к вершине, равна удвоенной
длине основания треугольника. Найти отношение длины биссектрисы к длине основания.

Answer 1

Если b - боковая сторона, a - основание, то отрезки, на которые делит биссектриса боковую сторону, считая от вершины (противоположной основанию), равны 2a и b - 2a;
Длина биссектрисы L
L^2 = ab - (2a)(b - 2a) = 4a^2 - ab; или (L/a)^2 = 4 - b/a;
Из свойства биссектрисы
a/b = (b - 2a)/(2a) = b/2a - 1; если x = b/a; то 1/x = x/2 - 1; или
x^2 - 2x - 2 = 0; (x - 1)^2 = 3;
x = 1 + √3; (1 - √3 < 0)
Откуда (L/a)^2 = 3 - √3; L/a = √(3 - √3);

Comments

гораздо интереснее случай, когда отрезок от вершины равен основанию a (не удвоенному). Тогда L = a; и угол при вершине 36°;