В каждом примере используется один алгоритм решения, ничего другого здесь применять не надо: если основание (число, которое стоит ниже и написано "крупным шрифтом") одинаковое, что тут встречается в каждом примере, то сравнивают показатель (число, которое написано мелким шрифтом и стоит "выше"):
, так как здесь две записи абсолютно одинаковые.
, поскольку показатель первого числа (10) больше показателя второго числа (2).
, записи, опять же, одинаковые.
, здесь вновь ответ равно. Равно потому, что единица в любой степени (что в четвёртой, что в шестой (без учёта отрицательных)) будет единицей. В данном случае, число, которое нужно возвести в степень - отрицательное, поэтому применяется особое правило: для отрицательного основания важен показатель (если показатель чётный, то число станет положительным, если показатель нечётный, то число останется отрицательным). Тут число отрицательное, показатель чётный в обоих случаях (и четыре и шесть - чётные числа), поэтому ни единица в первом случае, ни единица во втором не станут отрицательными). 
, здесь можно воспользоваться определённым свойством (если в определённую степень возводится дробь, то в эту степень можно возвести и числитель и знаменатель этой дроби). Однако, это свойство мы применим в последнем примере, а здесь достаточно воспользоваться правилом выше: т.к. обе дроби отрицательные, но одна возводится в чётную а другая в нечётную степени (4 и 3 соответственно), то, как мы уже знаем, число в чётной степени станет положительным, а число в нечётной останется отрицательным. Итого получаем, что первая дробь будет положительной, а вторая - отрицательной, а положительное число всегда больше отрицательного.
, механизм такой же, что и в предыдущем примере: мы не смотрим на то, насколько больше показатель первого числа показателя второго, когда мы сравниваем два числа, мы смотрим на чётности показателей этих чисел. В данном случае, первый показатель больше второго, но это нам не нужно, ибо оба числа отрицательные, а чётный показатель только у второго числа. Следовательно, вторая дробь больше.