Мне приходит в голову только так:
3x^4 - 3y^4 - y^4 = 243
3(x^4 - y^4) = 243 + y^4
3(x - y)(x + y)(x^2 + y^2) = 3^5 + y^4
Левая часть делится на 3, 3^5 тоже, значит, y^4 и y тоже, делится на 3.
Попробуем
1) y = 0
3x^4 = 243 = 3^5
x^4 = 3^4
x1 = -3; x2 = 3
2) y = 3
3x^4 = 243 + 4*3^4 = 3^5 + 4*3^4 = 3^4*(3 + 4) = 3^4*7
x^4 = 3^3*7 - не подходит
3) y = 6
3x^4 = 3^5 + 4*6^4 = 3^5 + 4*2^4*3^4 = 3^4*(3 + 4*16) = 3^4*67
x^4 = 3^3*67 - не подходит
4) y = 9
3x^4 = 3^5 + 4*9^4 = 3^5 + 4*3^8 = 3^5*(1 + 4*3^3) = 3^5*109
x^4 = 3^4*109 - не подходит
Похоже, что решений только два:
(-3; 0); (3; 0)