Решите неравенство подробно

$log_{|x|} (x-1)^2 \leq 2$

ОДЗ:
$(x-1)^2\ \textgreater \ 0$
$|x|\ \textgreater \ 0$
$|x| \neq 1$

$x \neq 1$
$x \neq 0$
$x \neq -1$ или $x \neq 1$
x ∈ $(-$ ∞ $;-1)$ $(-1;0)$ $(0;1)$ $(1;+$ ∞ $)$

$log_{|x|} (x-1)^2 \leq log_{|x|}|x|^2$

1 случай:
$0\ \textless \ |x|}\ \textless \ 1$
$(x-1)^2 \geq x^{2}$

$|x|\ \textgreater \ 0$
$|x|\ \textless \ 1$
$(x-1)^2-x^2 \geq 0$

$x \neq 0$
$x\ \textgreater \ -1$
$x\ \textless \ 1$
$x^{2} -2x+1- x^{2} \geq 0$

x ∈ $(-1;0)$ $(0;1)$
$x \leq \frac{1}{2}$
общее решение: x ∈ $(-1;0)$ $(0; \frac{1}{2} ]$

2 случай:
$|x|\ \textgreater \ 1$
$(x-1)^2 \leq x^{2}$

$x\ \textgreater \ 1$ или $x\ \textless \ -1$
$x^{2} -2x+1- x^{2} \leq 0$

$x\ \textgreater \ 1$ или $x\ \textless \ -1$
$x \geq \frac{1}{2}$

общее решение x ∈ $(1;+$ ∞ $)$
объединяем два случая и ОДЗ и получаем

Ответ: $(-1;0)$ $(0; \frac{1}{2} ]$ $(1;+$ ∞ $)$