Помогите решить уравнение) 5cos^2x-2sin2x+3sin^2x=2

Question

Помогите решить уравнение)
5cos^2x-2sin2x+3sin^2x=2

---

Answer 1

Sin2x=2sinxcosx
5cos^2(x)-4sinxcosx+3sin^2(x)=2-все делим на cos^2(x)
5-4tgx+3tg^2(x)=2/cos^2(x)   ( tg=sinx/cosx     2/cos^2(x)=1+tg^2(x))
все переносим в левую часть и вычитаем
tg^2(x)-4tgx+3=0
замена tgx=y
y^2-4y+3=0
решаем уравнение
у=1
у=3
подставляем в замену tgx=1 и tgx=3
далее решаем уравнения в первом x=пи/4+пи*n
во втором x=arctg3+пи*n

Comments

не очень поняла решение в конце

---

Ты нашла корни для y=tg(x), а тебе нужны - для х. Находишь х через у: у=1 => tg(x)=1 => x=arctg(1)+(pi)*n for all n in Z. Из tg(x) "достаёшь" х при помощи обратной функции Arctg, а добавление pi*n (вместо 2pi*n, как в синусах с косинусами обычно) потому, что период тангенса равен pi

---

В решении один ньюанс есть: когда поделили на (cosx)^2 - автоматом исключили возможность cosx=0, потому этот случай нужно проверить в частном порядке, после решения. Например: 5cos^2x-2sin2x+3sin^2x=3 - cosx=0 является решением уравнения, но поделив на (cosx)^2, мы его не получим! Потеря таких корней - частая ошибка в решении задачек по тригонометрии.

---

да, правильно, забыла написать про условие что cosx не равен 0? но в данном случае это не влияет на решение т.к не равен pi/2 +pi*n

---

У тебя - всё верно, ньюанс я для будуших поколений написал. Вдруг кто-то будет решать похожую задачку, но с выпавшим корнем?