1)
sin²α+cos²α=1
Возводим обе части равенства в квадрат
sin⁴α+2sin²αcos²α+cos⁴α=1 ⇒
sin⁴α+cos⁴α=1-2sin²αcos²α
и в куб
sin⁶α+3sin⁴αcos²α+3sin²αcos⁴α+cos⁶α=1 ⇒
sin⁶α+cos⁶α=1-3sin⁴αcos²α -3sin²αcos⁴α
Левая часть данного тождества примет вид
3·(1-2sin²αcos²α)-2·(1-3sin⁴αcos²α -3sin²αcos⁴α)=
=3-6sin²αcos²α-2+6sin⁴αcos²α +6sin²αcos⁴α=
=1-6sin²αcos²α+6sin²αcos²α( sin²α+cos²α)=1
Левая часть равна правой, тождество доказано.
2)
Равенство верно при условии, что
1.
все тангенсы (tgα; tg2α; tg 3α) существуют:
α≠(π/2)+πn, n∈Z
2α≠(π/2)+πk, k∈Z
3α≠(π/2)+πm, m∈Z
и
2.
знаменатели дробей отличны от нуля
1-tg2αtgα≠0 ⇒
приводим дроби к общему знаменателю
cos2αcosα-sin2αsinα≠0 ⇒cos3α≠0 ⇒3α≠π/2+πm, m∈Z
1+tg2αtgα≠0
приводим дроби к общему знаменателю
cos2αcosα+sin2αsinα≠0 ⇒cosα≠0 ⇒α≠(π/2)+πk, k∈Z
Объединяя оба условия, получаем
α≠(π/2)+πn, n∈Z
α≠(π/4)+(πk/2), k∈Z
α≠(π/6)+(πk/3), k∈Z