Пусть данный прямоугольный треугольник - АВС,
угол С=90°,
СН - высота.
АН - проекция катета АС,
х- проекция катета ВС на гипотенузу АВ.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
ВС²=АВ*ВН
Пусть ВН=х. Тогда АВ=9+х
36=х(9+х) ⇒
х² +9х-36=0
Решив квадратное уравнение, получим его корни.
х₁=3
х₂=-12 ( не подходит).
ВН=3
АС² =АВ*АН
АС² =12*9=108
АС=√108=6√3
S=AC*CB:2=18√3
--------
Из отношения СВ :АВ=1/2 ясно, что угол А=30°, угол В=60°, и тогда площадь можно не находить длину ворого катета, а найти по формуле:
S=(a*b*sin α):2 , где a и b стороны треугольника, α - угол между ними.
S=AB*BC*√3)*0,5:2
Результат вычисления будет тем же - S=18√3
