Докажите, что если вокруг трапеции можно описать окружность, то эта трапеция...

Question

Докажите, что если вокруг трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Answer 1

Четырёхугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных его углов равна 180 градусов.

Пусть углы 1 и 2 - углы при большем основании, углы 3 и 4 соответственно меньшего.

1 + 4 = 180; 2 + 4 = 180 (угол 2 равен соответственному ему углу при параллельных прямых, смежному углу 4) из данных равенств следует, что угол 1 = 2 , что и требовалось доказать.

Answer 2

Сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна α + β = 1800 , сумма углов при боковой стороне трапеции также равна α + γ = 1800 (эти углы являются односторонними при параллельных основаниях и секущей боковой стороне), из сравнения этих формул получаем, что β = γ, то есть углы при основании такой трапеции равны, и она действительно равнобедренная. Ч.Т.Д.