1. Ответ: уравнение параболы y²=6x−15
Канонический вид: y²=6x', x'=x−2,5
Решение
Пусть точка линии имеет координаты (x,y). Тогда расстояние от (x;y) до A(4;0) равно √((x−4)²+y²), а расстояние до прямой x=1 равно |x−1|.
Составляем уравнение:
√((x−4)²+y²) = |x−1|
Поскольку в левой и правой частях уравнения стоят неотрицательные величины, можно возвести обе части в квадрат (это преобразование будет тождественным):
x²−8x+16+y²=x²−2x+1
(1) y²=6x−15
Каноническое уравнение параболы имеет вид y²=2px.
Для его получения сделаем преобразование x'=x−2,5; уравнение принимает вид
y²=6x', x'=x−2,5
------------------------------------------------------------------------
2. ОТВЕТ: первый катет: 2x+y−7=0; второй катет: x−2y−6=0
Решение
Угловой коэффициент гипотенузы AB равен 3 ⇒ tg φ = 3 (см. рис.)
Пусть CD — высота, опущенная на гипотенузу из вершины C. Тогда угловые коэффициенты катетов равны тангенсам соответствующих углов; углы находятся как (см. рис.):
AC: φ+45°
BC: φ−45°
а) AC: tg(φ+45°) = (tg φ + tg 45°)/(1&tg φ tg 45°) = (3+1)/(1−3) = −2
Угловой коэффициент равен (−2) ⇒ уравнение имеет вид y=−2x+p.
Константа p находится из условия, что C∈AC: −1=(&,minus;2)*4+p, отсюда p=7
Уравнение AC: y=7−2x, или 2x+y−7=0
б) BC: tg(φ−45°) = tg((φ45°)−90°) = −1/tg(φ+45°) = ½.
Угловой коэффициент равен ½ ⇒ уравнение имеет вид y=x/2+q.
q находится из условия того, что точка C должна лежать на данной прямой:
−1=4/2+q ⇒ q=−3.
Уравнение BC: y=x/2−3, или 2y−x+6=0
в) проверяем наши выкладки. Найдём координаты точек A и B как точек пересеяения прямой AB с прямыми AC и BC соответственно.
A: { 3x−y+5=0; 2x+y−7=0. Решение системы: x=0,4; y=6,2.
B: { 3x−y+5=0; 2y−x+6=0. Решение: x=−3,2; y=−4,6.
Вычислим длины сторон ΔABC:
BA = √(3,6²+10,8²) = 3,6√10
AC = √(3,6²+(−7,2)²) = 3,6√5
BC = √(7,2²+3,6²) = 3,6√5
Итак, AC=BC; AB=AC√2 ⇒ ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник. Что и требовалось.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ох всё