Найдите хотя бы одно число, произведение всех натуральных делителей которого равна 10^90

Пусть N - наше число и $d_1,\ldots,d_k$ - все его натуральные делители. Тогда $N/d_1,\ldots,N/d_k$ - те же делители, только записанные в обратном порядке. Если их все перемножим, то получим $(d_1\cdot\ldots\cdot d_k)^2=N^k$ . Значит, согласно условию, $N^k=10^{180}$ . Будем искать N в виде $N=10^r$ . Тогда его делители имеют вид $2^l5^m$ , где $0\le l,m\le r$ , т.е. количество делителей $k=(r+1)^2$ штук. Таким образом, получается уравнение $10^{r(r+1)^2}=10^{180}$ . Отсюда $r(r+1)^2=180.$ Легко проверить, что r=5, является его корнем. Итак, ответ: $N=10^5.$