Найдите точку максимума функции у=(х-5)^2*e^x-7

$(x-5)^2*e^x-7$

Для нахождения локального максимума функции, найдём её стационарные точки, точки недифференцируемости и выясним поведение функции в некоторой окрестности данных точек.

Вычислим первую производную функции:
$((x-5)^2*e^x-7)'=((x-5)^2*e^x+(-7))'$
[применяем правило (u+v)'=u'+v']
$((x-5)^2*e^x)'+(-7)'$
[применяем правило (c)'=0, где c=const]
$((x-5)^2*e^x)'$
[применяем правило (uv)'=u'v+uv']
$((x-5)^2)'*e^x+(x-5)^2*(e^x)'$
[используем $(e^x)^{(n)}=e^x$ , ∀n∈ $N_{0}$ ]
$((x-5)^2)'*e^x+(x-5)^2*e^x=e^x(((x-5)^2)'+(x-5)^2)$
Найдём отдельно производную сложной функции (x-5)^2:
[по правилам (f(u(x)))'=f'(u(x))*u'(x) и (x^m)'=m*x^(m-1)]
$2*(x-5)*1=2*(x-5)$
Подставим найденное значение в $e^x(((x-5)^2)'+(x-5)^2)$ :
$e^x(2*(x-5)+(x-5)^2)=e^x(x-5)(2+x-5)=e^x(x-5)(x-3)$

Приравняем производную к нулю и найдём стационарные точки, точки недифференцируемости:
$e^x(x-5)(x-3)=0$
Отсюда x=5;3 - стационарные точки. Точек недифференцируемости нет.

Рассмотрим первую стационарную точку x=5. При x↑ производная меняет знак с "-" на "+" => x=5 - точка локального минимума функции.
Теперь рассмотрим стационарную точку x=3. При x↑ производная меняет знак с "+" на "-" => x=3 - точка локального максимума функции.

Ответ: 3.