Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел а и б — квадраты натуральных...

Question

Известно, что и сумма и произведение двух натуральных чисел а и б — квадраты натуральных чисел. Докажите, что число |16a-9b| — не простое.

Answer 1

По условию
a+b=n^2
ab=m^2, где m и n  - натуральные числа. Решив эту систему относительно a и b, получим
b=1/2(n^2+sqrt(n^4-4m^2)
a=1/2(n^2-sqrt(n^4-4m^2)
Тогда модуль 16a-9b равен 
7n^2/2|1-sqrt(1-4m^2/n^4)|
Поскольку у этого числа есть множитель n^2, это число не может быть простым, чтд.