Пусть PABC - правильный тетраэдр с ребром 1. Вычислите произведение векторов PA и LM, где...

Question

Пусть PABC - правильный тетраэдр с ребром 1. Вычислите произведение векторов PA и LM, где точка L - середина ребра AC, а точка M - середина ребра PB.

Answer 1

PA =AC +CP ; LM =LC+CP+PM =(1/2)AC +CP +(1/2)PB
PA* LM = (AC+CP)*(AC+2CP+PB)/2 =
(1/2)*(AC² +2AC*CP +AC*PB + CP*AC+2CP²+CP*PB) =
(1/2)*(1 +2*1*1cos120° +0 + 1*1cos120+2*1+1*1cos120°)=  || cos120° = -1/2 ||
(1/2)*(3 -2)= 1/2.