В прямоугольной трапеции АВСД (угол ВАД=90) с основаниями АД=24 и ВС=16 диагонали пересекаются в точке М, АВ=10. Найти площадь треугольника АМД.
S(ABM)/S(AMD) = BM/DM , но BM/DM = BC/DA =16/24 =2/3 || ΔCMB ~ ΔAMD || ; S(ABM)/S(AMD) =2/3 ; S(ABM)/S(AMD) +1 =2/3+1 ; S(ABD)/S(AMD) =5/3 ⇔S(AMD) =(3/5)*S(ABD) ⇒ S(AMD)=(3/5)*(24*10/2) =3*24*10/10 =72 (кв.ед.). * * * ИЛИ по другому Как усложнять себе жизнь * * * Обозначаем S₁ =S(AMD); S₂ =S(CMB). S(ABCD) =(√S₁+√S₂)² ; (16+24)/2 * 10 =(√S₁+√S₂)² ; 200 = (√S₁+√S₂)² . ΔAMD~ΔCMB ⇒S₂/S₁ =(BC/AD)² ; S₂/S₁ =(16/24)² ⇒√S₂ =(2/3)*√S₁. ------- следовательно: 200 =((1+2/3)√S₁)² ; 200 =(25/9)* S₁ ; S₁ =200*9/25 =72 (кв.ед.) .
Смотрим картинго (пропорци, между прочим, соблюдены): Вспоминаем чудесное правило: При пересесечении диагоналей трапеции, треугольники, лежащие на основаниях подобны. Доказывется это легко и самостоятельно, через равенство двух пар накрест лежащих и одной пары вертикальных углов. ΔAMD~ΔCMB, MH и МО - высоты ΔAMD и ΔCMB, соответственно. Значит Если кто-то готов с этим поспорить ну дерзните... Всё...