Составьте уравнение окружности R=5 касающийся окружности в точке M(3;1)

$x^2+y^2-10y=0$
$x^2+y^2-10y+25=25$
$x^2+(y-5)^2=5^2$
значит заданная окружность - окружность радиуса 5 и с центром в точке О(0;5),

отсюда следует что искомая окружность и заданная не могут касаться внутренне, так как их радиусы одинаковы

значит в данном случае внешнее касание в точке М(3;1)
так как точка касания и центры окружностей лежат на одной пряммой, то
обозначив через А(x;y) центр искомой окружности и используя векторы получим
вектор ОМ=вектор МА
(0-3;5-1)=(3-x;1-y)
-3=3-x;
4=1-y

x=3+3=6
y=1-4=-3
A(6;-3) - центр второй окружности
значит ее уравнение
$(x-x_0)^2+(y-y_0^2=R^2$
$(x-6)^2+(y-(-3))^2=5^2$
$(x-6)^2+(y+3)^2=25$ ( <-- ответ)<br>----
или
$x^2-12x+36+y^2+6y+9=25$
$x^2-12x+y^2+6y+20=0$