Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D,...

Question

Биссектриса угла B треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D, Точка Q - цент вписанной в треугольник окружности. Как доказать, что DA=DC=DQ (Рассмотрите углы треугольника ADQ, прилежащие к стороне AQ)

Доказал DA=DC, а вот с DQ не могу ! Помогите!

Answer 1

∠QAC=∠BAC/2 (т.к. AQ - биссектрисa), ∠CAD=∠DBC=∠ABC/2 (как опирающиеся на одну дугу). Поэтому,
∠QAD=∠QAC+∠CAD=(∠BAC+∠ABC)/2=90-∠ACB/2,
но ∠ADQ=∠ACB (тоже опираются на одну дугу). Значит,
∠AQD=180°-∠QAD-∠ADQ=180°-(90°-∠ACB)/2-∠ACB=90°-∠ACB/2.
Т.е. ∠QAD=∠AQD, откуда AQD - равнобедренный и DA=DQ. Аналогично, DC=DQ.