В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит...

Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка ее касания с гипотенузой делит гипотенузу на части,длины которых равны 6 см и 4 см.Вычислите радиус окружности

Answer 1

Точка касания с гипотенузой ВС является точка Е (СЕ=4, ВЕ=6), с катетом АС точка К, с катетом АВ точка М. Угол А прямой.

СЕ=СК=4, длины отрезков выходящих из одной вершины до точек касания к      окружности равны, по этому же правилу

ВЕ=ВМ=6

Центр окружности О, r-радиус окружности. ОК=ОМ=r и ОК перепендик АС, ОМ перпендик АВ. АМОК-квадрат и АМ=АК=r

Тогда АС=r+4, АВ=r+6, ВС=4+6=10 по теореме Пифагора

ВС^2=АС^2+АВ^2

10^2=(r+4)^2+(r+6)^2

r^2+8r+16+ r^2+12r+36=100

2r^2+20r+52=100

2r^2+20r-48=0 сократим все на 2

r^2+10r-24=0

найдем дискрим. Д=100+96=196

корень из Д=14

r1=(-10+14)/2

r1=2

r2=(-10-14)/2=-12(радиус не может быть отрицат.)

Радиус вписан.окружности равен r=2см

 

  

 

Answer 2

из середины окружности проведём радиусы в 3 сторонам треугольника...к гипотенузе OF. К ВА ОК,К АС ОУ. они все перпендекулярны сторонам...и ВК=ВF, YC=FC...тк это касательные проведённые из одной точки к окружностям...

КО=ОУ=УА=АК...ТК...КО=ОУ=РАДИУСУ И КО ПАРАЛЛЕЛЬНО АУ,А КА ПАРАЛЕЛЬНО ОУ. И ЭТИ 4 СТОРОНЫ ОБРАЗУЮТ КВАДРАТ.ПУСТЬ ОУ=X... зн ВС2(КВАДРАТ)=(6+X)2+(4+X)2.....100=2X2+20X+52....2X2+20X=48.......X2+10X=24.....X2+10X+24=0    D=100+96=14(В КВАДРАТЕ).....X(ПЕРВОЕ)=(-10+14)/2=2СМ....Х(ВТОРОЕ)=(-10-14)/2=-12 НЕ УД УСЛ...ОТВЕТ:R=2СМ