Вся задача построена на прямоугольных треугольниках с углами в 60 и 30 градусов и на их свойстве: Против угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике лежит катет, который в 2 раза меньше гипотенузы.
Обозначим нашу трапецию ABCD так, что ∠D=30, а ∠В и ∠А=90. Проведем диагональ АС, которая с АD образует ∠СAD=60.
Проведем высоту СР и рассмотрим получившийся четырехугольник ВСРА, это прямоугольник, так как все его углы прямые(∠В и ∠А-по опр.прямоуг.трап., а ∠Р и ∠С - по опр.высоты).
Теперь рассмотрим ΔСАР: ∠САР=60, а ∠СРА=90 ⇒ ∠АРС=30. Это такой треугольник, какой нам подходит, но у нас нет сторон, зато у нас есть ΔВАС, со стороной a. (ΔВАС=ΔСРА(по св-ву параллелогр.)) ⇒ он имеет такие свойства. В ΔСВА: ∠В=90, ∠АСВ=60, ∠САВ=30, тогда ВС=
АС, то есть АС=2а.
Потеореме Пифагора стразу найдем и ВА:
АС²-ВС²=ВА²
4а²-а²=ВА²
3а²=ВА²
√3 а=ВА
Рассмотрим ΔСPD. В нем, аналогично предыдущим примерам, ∠D=30(по усл.), ∠CPD=90(по опр. высоты) ⇒∠DCP=60. То есть, СР=РD. СР=√3 а(т.к. ВА=СР(по опр. парал.)), тогда PD=2√3 а
Сложим АР и РD,(АР=а=ВС):
(1+2√3)а
И теперь найдем площадь:
S=![\frac{a+(1+ 2\sqrt{3}) a }{2} * \sqrt[2]{3}a](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Ba%2B%281%2B+2%5Csqrt%7B3%7D%29+a+%7D%7B2%7D+%2A++%5Csqrt%5B2%5D%7B3%7Da+ "\frac{a+(1+ 2\sqrt{3}) a }{2} * \sqrt[2]{3}a")