Основанием правильной треугольной пирамиды по определению является равносторонний треугольник. А расстояние от центра основания до боковой грани равно радиусу вписанной окружности. Согласно свойствам равностороннего треугольника площадь основания равна:
S = 3√3 r2 = 3√3 (2√3)2 = 36√3
Поскольку грани наклонены к основанию под углом 45 градусов, то для прямоугольного треугольника MOK
tg MKO = MO/KO tg 45 = MO / (2√3)
Исходя из таблицы значений тригонометрических функций tg 45 = √3
√3 = MO / (2√3) MO = 6
Таким образом, высота пирамиды равна 6 см.
Объем пирамиды найдем по формуле:
S = 1/3 Sh S = 1/3 * 36√3 * 6 S = 72√3
Ответ: 72√3