Исследовать ** сходимость числовой ряд:

Question 1

Исследовать на сходимость числовой ряд:

$\sum_{n=1}^{\infty} arctg(\frac{5+n^2}{n^3+6n})$

Question 2

Известно, что

\dfrac x2" alt="\mathrm{arctg}\,x>\dfrac x2" align="absmiddle" class="latex-formula">

по крайней мере при x принадлежащих интервалу (0, 1)

(Это легко приверить: при таких x функция y=arctg x - x/2 возрастает)

Поэтому можно посмотреть на ряд

$\dfrac12\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{5+n^2}{n^3+6n}=\dfrac12\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac1n-\dfrac1{n^3+6n}\right)$

Ясное дело, этот ряд расходится. Тогда по признаку сравнения и исходный ряд также расходится.