Вся проблема в том, чтобы построить сечение. Дальше уже арифметика.
Для построения сечения достаточно найти линию пересечения секущей плоскости и плоскости основания ВСD. То есть надо найти точку пересечения прямой S1M с этой плоскостью. Прямая S1M лежит в плоскости треугольника S1BS, так как точка М принадлежит ребру ВS и прямой S1М. Рассмотрим треугольник S1BS. В нем отрезки ВО и S1M - медианы. Они пересекаются в точке А, которая принадлежит и плоскости сечения и плоскости основания пирамиды. Следовательно, линия пересечения этих плоскостей пройдет через точки L и А. Соединяем эти точки и продолжаем прямую LA до пересечения с ребром ВС в точке К. ВА=(2/3)*ВО, а ВО=(2/3)*ВН (по свойству медиан), где Н - середина ребра СD правильного треугольника ВСD. ВН является и высотой этого треугольника (по свойству правильного треугольника) и равна (√3/2)*DC.
Итак, ВО=(2/3)*(√3/2)*DC=(√3/3)DC, а ВА=(2/3)*(√3/3)DC=(2√3/9)*DC.
Тогда АН=ВН-ВА=(√3/2)*DC-(2√3/9)*DC=((5√3)/18)*DC.
НА/АВ=((5√3)/18)/(2√3/9)*DC=5/4.
Но DL=(2/9)CD, а CD=2HD. Тогда DL=(4/9)*HD, а НL=(5/9)*HD и НL/LD=5/4.
Итак, НА/АВ=НL/LD=5/4. Если прямые пересекают стороны угла и делят эти стороны в равной пропорции, то эти прямые параллельны. Мы доказали, что KL параллельна ВD. Если прямая (KL), параллельна какой-нибудь прямой (BD), расположенной в плоскости (BSD), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость проходит через прямую (KL), параллельную другой плоскости (BSD), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (MN) параллельна первой прямой (KL). Вот теперь мы доказали, что сечение KMNL - трапеция. Рассмотрим треугольники ВМК и DNL. Они равны, так как ВМ=ND, BK=DL и Что и требовалось доказать.
Все рёбра данной нам пирамиды РАВНЫ =18.
Тогда MN=(1/2)*BD=9, а KL=(7/9)*BD(дано)=14.
Средняя линия этой трапеции равна (KL+MN)/2=23/2=11,5.
