Знайти чотири числа, з яких три перших формують арифметичну прогресію, а три останніх -...

0 голосов
29 просмотров

Знайти чотири числа, з яких три перших формують арифметичну прогресію, а три останніх - геометричну. Сума крайніх чисел дорівнюе 40, а сума середніх = 20.

Найти четыре числа, из которых три первых формируют арифметическую прогрессию, а три последних - геометрическую. Сумма крайних чисел равна 40, а сумма средних = 20.

Алгебра (167 баллов) | 29 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Не слишком изящно получилось....
Итак , обозначим числа k, l, m и n. d -шаг арифм. прогрессии, q - знаменатель прогрессии.
тогда получаем систему из 6 уравнений.
l=k+d
m=k+2d
m=lq
n=lq²
k+m=40
l+m=k+d+k+2d=2k+3d=20

Решаем эту систему

l=k+d
m=k+2d
m=lq=(k+d)q
n=lq²=(k+d)q²
k+m=k+lq²=k+(k+d)q²=40
l+m=k+d+k+2d=2k+3d=20

из последнего уравнения d= \frac{20-2k}{ 3}=2\frac{10-k}{3}
Приравнивая второе и третье получим
k+2d=(k+d)q
q= \frac{k+2d}{k+d} =\frac{k+2*2 \frac{10-k}{3} }{k+2 \frac{10-k}{3}}= \frac{3k+4(10-k)}{3k+2(10-k)}= \frac{3k+40-4k}{3k+20-2k}= \frac{40-k}{20+k}
из предпоследнего
k+(k+ 2\frac{10-k}{3})( \frac{40-x}{20+x} )^2=40 \\ k+ \frac{(k+ \frac{20}{3}- \frac{2}{3}k)(40-k)^2}{(20+k)^2}= k+ \frac{(\frac{k}{3}+ \frac{20}{3})(40-k)^2}{(20+k)^2}=k+ \frac{(k+ 20)(40-k)^2}{3(20+k)^2}= \\ =k+ \frac{(40-k)^2}{3(20+k)}=\frac{3k(20+k)+(40-k)^2}{3(20+k)}=40
3k(20+k)+(40-k)²=40*3(20+k)
60k+3k²+1600-80k+k²=2400-120k
4k²-140k-800=0
k²-35k=200
D=35²+4*200=2025
\sqrt{D}=45
k₁=(35-45)/2=-5
k₂=(35+45)/2=40
d₁=(20-2*(-5))/3=10
l₁=-5+10=5
m₁=15
q₁=3
n₁=45


d₂=(20-2*40)/3=-20
l₂=40-20=20
m₂=0
q₂=0
n₂=0

Ответ: два решения: -5,5,15,45 и 40, 20, 0, 0

(101k баллов)
Похожие задачи