Найдите арифметическую прогрессию ,в которой среднее арифметическое n первых ее членов...

По определению среднее арифметическое равно общей сумме членов деленное на их общее количество:
$\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}=\frac{S_n}{n}=2n$
откуда сумма n первых членов арифметической последовательности равна
$S_n=2n^2$
в частности
$S_1=a_1=2*1^2=2$
$S_2=a_1+a_2=2*2^2=8$
отсюда второй член последовательности равен
$a_2=S_2-S_1=8-2=6$
разность арифметической прогрессии равна
$d=a_2-a_1=6-2=4$
значит искомая арифметическая прогрессия это арифметическая прогрессия с первым членов 2, и разностью арифметической прогрессии 4
(2, 6, 10, 14, 18, .....)
----------
///////////
маленькая проверочка схождения с формулой суммы членов прогрессии
$a_1=2;d=4$
$S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n$
$S_n=\frac{2*2+(n-1)*4}{2}*n=(2+2(n-1))n=(2+2n-2)n=2n^2$
//////////
ответ: арифмитичесская прогрессия с первым членом 2 и разностью прогрессии 4