В прямоугольном треугольнике АВС угол с=90 град., М-средина АС,N-серидина ВС, угол MNC=45...

MN- средняя линия в треугольнике АВС, параллельная АС, так как М - середина АС, N - середина ВС. По свойству средней линии AB=2MN=2*4 $\sqrt{2}$ =8 $\sqrt{2}$

Углы MNC и CMN равны (180-(90+45)=45), углы MNC и АВС равны, как при параллельных прямых MN и АВ и секущей ВС. Углы АВС и САВ равны (180-(90+45)=45).

Если синусы и косинусы не проходили, то возьмем СВ=АВ=Х, тогда по теореме Пифагора:

$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$

$(8\sqrt{2})^{2}=x^{2}+x^{2}$

$128=2x^{2}$

$x=\sqrt{128/2}$

x=8

Тогда АС=ВС=8.

СN=1/2BC=8/2=4, так как N - середина BC, точно так же МС=4.

Из треугольника АСN, где С=90 градусов, CN=4, АС=8, по теореме Пифагора:

$AN=\sqrt{CN^{2}+AC^{2}}$

$AN=\sqrt{4^{2}+8^{2}}$

$AN=\sqrt{80}$

$AN=4\sqrt{5}$

Scmn=CN*MN/2=4*4/2=8

Sabc=AC*BC/2=8*8/2=32

Smabn=Sabc-Scmn=32-8=24.

Ответ: АВ=8 $\sqrt{2}$ , ВС=АС=8, $AN=4\sqrt{5}$ , Scmn=8, Smabn=24. ;)